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iOS逆向(1)-密码学(RSA) [复制链接]

2019-4-4 21:36
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要讲逆向,那么肯定少不了密码学,因为所有的逆向(攻防)都是对已加密的数据进行解密。所以我们必须初步了解加密的方式有哪些,毕竟知己知彼,才能百战百胜。

接下来,我将从以下四方面来讲述密码学相关的内容:
1、什么是密码学
2、RSA数学原理
3、RSA终端命令
4、总结

1、什么是密码学

密码学的历史大致可以追溯到两千年前,相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报,用密码传送情报。凯撒的做法很简单,就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样,如果不知道密码本,即使截获一段信息也看不懂。

从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里,密码学的发展非常的缓慢,因为设计者基本上靠经验。没有运用数学原理。

在1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候,彼此通信的双方就必须将规则告诉对方,否则没法解密。那么加密和解密的规则(简称密钥),它保护就显得尤其重 要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法(symmetric encryption algorithm)。

1976年,两位美国计算机学家 迪菲(W.Diffie)、赫尔曼( M.Hellman ) 提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向。

1977年三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起设计了一种算法,可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。

也就是说「迪菲赫尔曼密钥交换」在密码学历史的车轮中成为了一个转折点。

2、RSA数学原理

咱们这里先把所有需要用到的公式定理列出来:
1、取模运算
2、欧拉函数φ
3、欧拉定理,费马小定理
4、模反元素
5、迪菲赫尔曼密钥交换

1、取模运算

取模运算(“Modulo Operation”)和取余运算(“Complementation ”)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
在这列出各种负数情况的例子供大家理解:
7 mod 4 = 3(商 = 1 或 2,1<2,取商=1)
-7 mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)
7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)
-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1)

函数值符号规律(余数的符号) mod(负,正)=正 mod(正,负)=负
结论:两个整数求余时,其值的符号为除数的符号。

2、欧拉函数φ(读fai,三声)

可以简单理解为:
如果n可以分解为两个互质(不一定是两个质数)的数之积A和B,那么:
φ(n) = φ(A) * φ(B

如果 A和B 又同时为质数,那么:
φ(n) = (A-1) * (B-1)

3、欧拉定理,费马小定理

首先这里说一下,定制之所以是定理是被人证明过的,如何证明的不管,当然你也可以增加去证明下,反正我不管(……&%¥%……&%&……&%),哈哈

如果m、n为正整数,且m、n互质,那么:

image.png

如果n为质数,那么:
image.png

公式转换:
image.png

4、模反元素

如果两个正整数e和x互质,那么一定可以找到整数d,使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”。
image.png

5、迪菲赫尔曼密钥交换

image.png

如上图: 客户端持有一个随机数13 ,服务端持有随机数15,再选一对特殊的数,3是17的原根(啥是原根?)。 两端交换的都是密文,就算中间被劫持,也不知道最后需要的传输的内容是10 那么这个10就是最后真正的秘钥。

证明过程

==> 3^(13 * 15) mod 17 = 3^(13 * 15) mod 17 
根据模幂运算 ((m^e mod n)^d) mod n = m^(e*d) mod n
==>  (3^13 mod 17)^13 mod 17 = (3^15 mod 17)^15 mod 17
由于   3^13 mod 17 = 12      
          3^15 mod 17 = 6
==>  6^13 mod 17 =  12^15 mod 17 = 10
复制代码

 m=3  ,e=13  ,d=15  ,n=17  ,C=12
复制代码

那么:

 m^e mod n = c
 c^d mod n = (m^e mod n)^d mod n = m^(e*d) mod n
复制代码

又由于上面模反元素 最后得出

 m^(e*d) mod n = m
复制代码

所以得出最终结论:

m^e mod n = c
c^d  mod n = m
复制代码

这个公式也就是我们最后的RSA加密公式!!! 其中:

公钥: n和e 
私钥: n和d
明文:    m
密文:    c
d是e对于φ(n)的“模反元素”。
复制代码

补充:
1、n会非常大,长度一般为1024个二进制位。(目前人类已经分解的最大整数,232个十进制位,768个二进制位)
2、由于需要求出φ(n),所以根据欧函数特点,最简单的方式n 由两个质数相乘得到: 质数:p1、p2 Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1) 3、最终由φ(n)得到e 和 d 。 总共生成6个数字:p1、p2、n、φ(n)、e、d

关于RSA的安全:
除了公钥用到了n和e 其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下:
1、要想求出私钥 d 。由于ed = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n)。
2、e是知道的,但是要得到 φ(n),必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1*p2。只有将n因数分解才能算出。

3、RSA终端命令

由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个:

命令含义
genrsa生成并且输出一串RSA私钥
rsautl使用RSA密钥进行加密、解密、签名和验证等运算
rsa处理RSA密钥的格式转换等问题

1、生成RSA私钥,密钥长度为1024bit

// 生成RSA私钥,密钥长度为1024bit
openssl genrsa -out private.pem 1024
复制代码

image.png

2、从私钥中提取公钥

// 从私钥中提取公钥
openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
复制代码

image.png

3、将私钥转换成为明文

// 将私钥转换成为明文
openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
cat private.txt
复制代码

image.png

4、通过公钥加密数据,私钥解密数据

// 新建一个文件,在文件中随意输入内容,比如输入字符串”Hello“
vim message.txt  
// 查看文件
cat message.txt  
// 通过公钥进行加密
openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
// 通过私钥进行解密
openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
// 查看加密后的文件
cat enc.txt  
// 查看解密后的文件
cat dec.txt  
复制代码

image.png

5、通过私钥加密数据,公钥解密数据

// 私钥加密
openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc_2.txt
// 公钥加密
openssl rsautl -verify -in enc_2.txt -inkey public.pem -pubin -out dec_2.txt
复制代码

image.png

4、总结:

1、由于RSA加密解密用的不是一套数据,所以其保证了安全性。
2、由于私钥过大,所以效率较低
3、如果有一天量子计算机被普及(计算速度极快),那么1024位已经不足以让RSA安全。
从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里,密码学的发展非常的缓慢,因为设计者基本上靠经验。没有运用数学原理。

在1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候,彼此通信的双方就必须将规则告诉对方,否则没法解密。那么加密和解密的规则(简称密钥),它保护就显得尤其重 要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法(symmetric encryption algorithm)。

1976年,两位美国计算机学家 迪菲(W.Diffie)、赫尔曼( M.Hellman ) 提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向。

1977年三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起设计了一种算法,可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。

也就是说「迪菲赫尔曼密钥交换」在密码学历史的车轮中成为了一个转折点。

2、RSA数学原理

咱们这里先把所有需要用到的公式定理列出来:
1、取模运算
2、欧拉函数φ
3、欧拉定理,费马小定理
4、模反元素
5、迪菲赫尔曼密钥交换

1、取模运算

取模运算(“Modulo Operation”)和取余运算(“Complementation ”)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
在这列出各种负数情况的例子供大家理解:
7 mod 4 = 3(商 = 1 或 2,1<2,取商=1)
-7 mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)
7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)
-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1)

函数值符号规律(余数的符号) mod(负,正)=正 mod(正,负)=负
结论:两个整数求余时,其值的符号为除数的符号。

2、欧拉函数φ(读fai,三声)

可以简单理解为:
如果n可以分解为两个互质(不一定是两个质数)的数之积A和B,那么:
φ(n) = φ(A) * φ(B

如果 A和B 又同时为质数,那么:
φ(n) = (A-1) * (B-1)

3、欧拉定理,费马小定理

首先这里说一下,定制之所以是定理是被人证明过的,如何证明的不管,当然你也可以增加去证明下,反正我不管(……&%¥%……&%&……&%),哈哈

如果m、n为正整数,且m、n互质,那么:

image.png

如果n为质数,那么:
image.png

公式转换:
image.png

4、模反元素

如果两个正整数e和x互质,那么一定可以找到整数d,使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”。
image.png

5、迪菲赫尔曼密钥交换

image.png

如上图: 客户端持有一个随机数13 ,服务端持有随机数15,再选一对特殊的数,3是17的原根(啥是原根?)。 两端交换的都是密文,就算中间被劫持,也不知道最后需要的传输的内容是10 那么这个10就是最后真正的秘钥。

证明过程

==> 3^(13 * 15) mod 17 = 3^(13 * 15) mod 17 
根据模幂运算 ((m^e mod n)^d) mod n = m^(e*d) mod n
==>  (3^13 mod 17)^13 mod 17 = (3^15 mod 17)^15 mod 17
由于   3^13 mod 17 = 12      
          3^15 mod 17 = 6
==>  6^13 mod 17 =  12^15 mod 17 = 10
复制代码

 m=3  ,e=13  ,d=15  ,n=17  ,C=12
复制代码

那么:

 m^e mod n = c
 c^d mod n = (m^e mod n)^d mod n = m^(e*d) mod n
复制代码

又由于上面模反元素 最后得出

 m^(e*d) mod n = m
复制代码

所以得出最终结论:

m^e mod n = c
c^d  mod n = m
复制代码

这个公式也就是我们最后的RSA加密公式!!! 其中:

公钥: n和e 
私钥: n和d
明文:    m
密文:    c
d是e对于φ(n)的“模反元素”。
复制代码

补充:
1、n会非常大,长度一般为1024个二进制位。(目前人类已经分解的最大整数,232个十进制位,768个二进制位)
2、由于需要求出φ(n),所以根据欧函数特点,最简单的方式n 由两个质数相乘得到: 质数:p1、p2 Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1) 3、最终由φ(n)得到e 和 d 。 总共生成6个数字:p1、p2、n、φ(n)、e、d

关于RSA的安全:
除了公钥用到了n和e 其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下:
1、要想求出私钥 d 。由于ed = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n)。
2、e是知道的,但是要得到 φ(n),必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1*p2。只有将n因数分解才能算出。

3、RSA终端命令

由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个:

命令含义
genrsa生成并且输出一串RSA私钥
rsautl使用RSA密钥进行加密、解密、签名和验证等运算
rsa处理RSA密钥的格式转换等问题

1、生成RSA私钥,密钥长度为1024bit

// 生成RSA私钥,密钥长度为1024bit
openssl genrsa -out private.pem 1024
复制代码

image.png

2、从私钥中提取公钥

// 从私钥中提取公钥
openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
复制代码

image.png

3、将私钥转换成为明文

// 将私钥转换成为明文
openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
cat private.txt
复制代码

image.png

4、通过公钥加密数据,私钥解密数据

// 新建一个文件,在文件中随意输入内容,比如输入字符串”Hello“
vim message.txt  
// 查看文件
cat message.txt  
// 通过公钥进行加密
openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
// 通过私钥进行解密
openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt
// 查看加密后的文件
cat enc.txt  
// 查看解密后的文件
cat dec.txt  
复制代码

image.png

5、通过私钥加密数据,公钥解密数据

// 私钥加密
openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem -out enc_2.txt
// 公钥加密
openssl rsautl -verify -in enc_2.txt -inkey public.pem -pubin -out dec_2.txt
复制代码

image.png

4、总结:

1、由于RSA加密解密用的不是一套数据,所以其保证了安全性。
2、由于私钥过大,所以效率较低
3、如果有一天量子计算机被普及(计算速度极快),那么1024位已经不足以让RSA安全。

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